函数是高中数学的「第一主线」，高考压轴题的一半以上围绕它展开。这篇把函数性质、指对幂运算和数列两大板块的骨架搭起来。
函数三要素与四大性质
- 三要素：定义域、对应法则、值域（值域由前两者决定）
- 单调性：任取 x₁ < x₂，若 f(x₁) < f(x₂) 则增；图象上升
- 奇偶性：f(−x) = −f(x) 奇函数（图象关于原点对称）；f(−x) = f(x) 偶函数（关于 y 轴对称）；判断前提是定义域关于原点对称
- 周期性：f(x + T) = f(x)
指数与对数运算规则
| 指数 | 对数 |
|---|---|
| aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | logₐ(MN) = logₐM + logₐN |
| aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | logₐ(M/N) = logₐM − logₐN |
| (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | logₐMⁿ = n·logₐM |
| (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | 换底：logₐb = log_c b ÷ log_c a |
辨析：log 加法不是真数相乘弄反
logₐ(M + N) 没有任何运算法则！只能拆乘积、拆商、提指数。遇到 log₂(8 + 8) 必须先算真数 = log₂16 = 4，而不是 log₂8 + log₂8 乱凑。同理 aᵐ + aⁿ 不能合并成 aᵐ⁺ⁿ。
等差与等比数列
| 等差（公差 d） | 等比（公比 q ≠ 0） | |
|---|---|---|
| 通项 | aₙ = a₁ + (n − 1)d | aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹ |
| 前 n 项和 | Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = na₁ + n(n−1)d/2 | Sₙ = a₁(1 − qⁿ)/(1 − q)（q ≠ 1） |
| 中项 | 2b = a + c | b² = ac |