解析几何 = 用方程研究图形。直线五种形式按条件选，圆与直线的关系优先用「几何法」——比联立方程快一倍。
直线方程五形式
| 形式 | 表达式 | 适用 |
|---|---|---|
| 点斜式 | y − y₀ = k(x − x₀) | 已知点和斜率 |
| 斜截式 | y = kx + b | 斜率与截距 |
| 两点式 | (y − y₁)/(y₂ − y₁) = (x − x₁)/(x₂ − x₁) | 已知两点 |
| 截距式 | x/a + y/b = 1 | 两轴截距（不过原点） |
| 一般式 | Ax + By + C = 0 | 万能（垂直时 k₁k₂ = −1） |
距离与位置关系
- 点到直线距离：d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)
- 两平行线距离：取一点转到点到直线
- 直线与圆：比较圆心距 d 与 r（几何法）；联立用判别式（代数法）
- 弦长一半 = √(r² − d²)，半弦、弦心距、半径成直角三角形
- 两圆：d > r₁ + r₂ 外离；d = r₁ + r₂ 外切；|r₁ − r₂| < d < r₁ + r₂ 相交；d = |r₁ − r₂| 内切；d < |r₁ − r₂| 内含
辨析：斜率不存在的情况
垂直于 x 轴的直线没有斜率，点斜式失效——设方程前先问「斜率一定存在吗」。过点 (1, 2) 且斜率为 k 的直线要与圆相切，k 可能有 1、2 或 0 个解；漏掉竖直线是分类讨论题的经典丢分点。