向量 = 有方向有大小，是「数形结合」的桥梁。坐标化之后，几何问题全部变成代数运算。
线性运算要点
- 加法三角形法则/平行四边形法则；减法 a − b = 从 b 的终点指向 a 的终点
- 共线定理：a ∥ b ⟺ a = λb ⟺ x₁y₂ − x₂y₁ = 0（坐标）
- 平面向量基本定理：平面内向量可用两个不共线基底 e₁、e₂ 唯一线性表示
数量积（点积）
| 形式 | 公式 | 用途 |
|---|---|---|
| 定义 | a · b = |a||b| cosθ | 求夹角 θ |
| 坐标 | a · b = x₁x₂ + y₁y₂ | 代数计算 |
| 垂直 | a ⊥ b ⟺ a · b = 0 | 证垂直 |
| 模长 | |a|² = a · a | 求长度 |
辨析：投影与投影向量
a 在 b 上的投影数量 = |a| cosθ = a·b / |b|（可正可负可零）；投影「向量」还要再乘 b 的单位向量。夹角公式 cosθ = a·b / (|a||b|) 里分子分母都含模，忘除模是最高频错误——点积相等不代表向量相等。